デリバティブの基礎の基礎（４）プレゼントバリュー（現在価値）とディスカウントレート（割引率）

前回は無リスク金利とは何かについて解説しました。

今回はいよいよ『デリバティブの基礎の基礎』の骨幹、「プレゼントバリューとディスカウントレート」について見ていきましょう。

無リスク資産の現在価値
無リスクでない場合
リスクという究極の難問
年N回の複利運用の場合

無リスク資産の現在価値

前回、「裁定機会が存在しないと仮定すると、ありとあらゆる無リスク資産は無リスク金利を実現する」ことを確認しました。

したがって、「連続複利表示された」無リスク金利が10％だとすると、無リスク資産を連続複利で運用した場合、『デリバティブの基礎（１）フォワードと裁定取引』で見たように、100万円を10年後に271.83万円にすることができます。逆に言えば、無リスク金利が10%の世界では、「10 年後の271.83万円の価値が現在の100万円の価値に等しい」ことになります。

それでは、10 年後の100 万円の現在価値（プレゼントバリュー）はいくらでしょうか。再び連続複利の計算式を思い出してください。元本Aを、年率RでT年間連続複利運用すると

$A e^{RT}$

となるのでした。したがって、

$A e^{0.1 \times 10}=100$

となるAを求めればよいわけですから、

$A = 100 \times e^{-0.1 \times 10}= 36.79$

つまり、「10 年後の100 万円が現在の36.79 万円に等しい」ことになります。今おこなったことをファイナンスの言葉で表現するならば、「10年後の100万円のプレゼントバリュー(現在価値) を無リスク金利でディスカウント(割引)して求めた」ことになります。そして、このとき

$e^{-0.1 \times 10}$

をディスカウントファクターと言います。要は、10年後の100万円を現在価値に直すさいにかける値のことです。一般に、

$e^{-RT}$

が連続複利の場合のディスカウントファクターです。この、「将来の資産価値をディスカウントしてその現在価値を求める」という考え方はとても重要です。そしてその際に用いる割引率のことをディスカウントレートと言います。無リスク資産の現在価値を求める際に用いるディスカウントレートが無リスク金利なのです。

無リスクでない場合

さて、それでは無リスクではない資産の現在価値を求める際には、どの程度のディスカウントレートを用いればよいでしょうか。これは非常に難しい問題です。例えば友人のA君が、10 年後に100 万円にして返すから、今お金を貸して欲しいと頼んできたとします。いったい今いくらお金を貸してあげるべきでしょうか。

この「10年後にA君から100万円を受け取る権利」が無リスク資産だとすれば、無リスク金利が10%の世界では現在価値は36.79 万円ですから、36.79万円貸してあげれば良いでしょう。しかしながらこの資産は無リスクではありません。10年以内にA君が破産してお金を払えなくなってしまうかも知れませんし、どこかへ行ってしまうかも知れません。

したがってこの資産の現在価値を求めるためには、無リスク金利よりも大きなディスカウントレートを用いる必要があります。例えば、15%のディスカウントレートを用いたならば

$A = 100 \times e^{-0.15 \times 10}= 22.31$

ですから、22.31万円ならばA君に貸してあげても良いと思うでしょう。また、別の友人B君が同じ頼みごとをしてきたとします。しかし、B君はA君よりも信用できず、「10年後にB 君から100 万円を受け取る権利」はよりリスクの高い資産だと考えれば、より高いレートでディスカウントする必要があります。

このように、金融資産の現在価値を求めるには、その資産のリスクを正しく評価し、適切なディスカウントレートを用いる必要があります。資産のリスクが高いほど、高いディスカウントレートを用い、得られるリターンも高くなければなりません。投資家が、高リスクの資産に対して無リスク金利に追加して求める期待リターンをリスクプレミアムと言います。